Zadanie Zadanie 6.1.6: Ruch obrotowy kuli i zależność prędkości od odległości od osi

Punkty
4 pkt
Dział
Bryła sztywna · Ruch postępowy i obrotowy bryły sztywnej. Środek masy
Trudność
Poziom trudności: średnie
Model kuli o obwodzie równika L=62,8 cmL = 62{,}8\,\text{cm} wiruje ze stałą częstotliwością f=5 Hzf = 5\,\text{Hz} wokół osi przechodzącej przez jej środek geometryczny. Oblicz promień kuli RR, jej prędkość kątową ω\omega oraz maksymalną prędkość liniową punktów leżących na równiku, a także sporządź wykresy v(r)v(r) i ω(r)\omega(r). Przyjmij π≈3,14\pi \approx 3{,}14.

Treść zadania

Model kuli o obwodzie równika L=62,8 cmL = 62{,}8\,\text{cm} wiruje ze stałą częstotliwością f=5 Hzf = 5\,\text{Hz} wokół pionowej osi przechodzącej przez jej środek geometryczny. Oblicz: 1. Promień kuli RR oraz jej prędkość kątową ω\omega. 2. Maksymalną prędkość liniową vmax⁡v_{\max} punktów leżących na powierzchni kuli (na równiku). 3. Podaj wzory i sporządź wykresy zależności prędkości liniowej v(r)v(r) oraz prędkości kątowej ω(r)\omega(r) od odległości rr punktu od osi obrotu (r∈[0;0,1 m]r \in [0; 0{,}1\,\text{m}]). (Przyjmij π≈3,14\pi \approx 3{,}14).

Odpowiedź i wynik końcowy

1. R=0,1 mR = 0{,}1\,\text{m}, ω=31,4 rad/s\omega = 31{,}4\,\text{rad/s} 2. vmax⁡=3,14 m/sv_{\max} = 3{,}14\,\text{m/s} 3. v(r)=31,4⋅rv(r) = 31{,}4 \cdot r (funkcja liniowa rosnąca), ω(r)=31,4 rad/s=const\omega(r) = 31{,}4\,\text{rad/s} = \text{const} (funkcja stała) 1: R=0,1 mR = 0{,}1\,\text{m}, ω=31,4 rad/s\omega = 31{,}4\,\text{rad/s} 2: vmax⁡=3,14 m/sv_{\max} = 3{,}14\,\text{m/s} 3: v(r)=31,4⋅rv(r) = 31{,}4 \cdot r (funkcja liniowa rosnąca), ω(r)=31,4 rad/s=const\omega(r) = 31{,}4\,\text{rad/s} = \text{const} (funkcja stała)
Ilustracja do zadaniaWidok kuli z góry (w płaszczyźnie równika) z osią obrotu O, promieniem R, stycznym wektorem prędkości liniowej v_max oraz kierunkiem prędkości kątowej ω.ORvmaxωvmaxω