Zadanie Zadanie 6.2.8: Most zwodzony i wyciągarka

Punkty
5 pkt
Dział
Bryła sztywna · Moment siły. I zasada dynamiki dla ruchu obrotowego
Trudność
Poziom trudności: trudne
Most zwodzony o masie M=1200 kgM = 1200\text{ kg} i długości L=5 mL = 5\text{ m} jest podnoszony za pomocą dwóch symetrycznych lin przymocowanych do jego swobodnego końca. Most zamocowany jest obrotowo na poziomym zawiasie na drugim końcu. a) Porównaj wartości sił naciągu pojedynczej liny w dwóch położeniach kątowych liny względem poziomego pomostu: dla kąta α1=30∘\alpha_1 = 30^\circ oraz α2=45∘\alpha_2 = 45^\circ. Wyznacz stosunek tych sił T1/T2T_1 / T_2. b) Dwie liny podnoszące most nawijane są na dwie identyczne wyciągarki ręczne (kołowroty). Każdy kołowrót obsługuje jedna osoba. Promień bębna, na który nawija się lina, wynosi r=12 cmr = 12\text{ cm}, a promień ramienia korby R=80 cmR = 80\text{ cm}. Oblicz wartość siły FF, jaką każda z osób musi działać prostopadle na ramię korby, aby rozpocząć podnoszenie mostu z położenia początkowego, w którym kąt liny wynosi α1=30∘\alpha_1 = 30^\circ. Przyjmij przyspieszenie ziemskie g=9,81 m/s2g = 9{,}81\text{ m/s}^2 (lub g=10 m/s2g = 10\text{ m/s}^2).

Treść zadania

Most zwodzony (lub pomost trapujący) o masie M=1200 kgM = 1200\text{ kg} i długości L=5 mL = 5\text{ m} jest podnoszony przez dwie symetryczne liny przymocowane do jego wolnego końca. Na drugim końcu most jest osadzony obrotowo na poziomym zawiasie. a) Dla dwóch kątów liny względem poziomego pomostu, α1=30∘\alpha_1 = 30^\circ i α2=45∘\alpha_2 = 45^\circ, porównaj wartości naciągu pojedynczej liny. Oblicz stosunek T1/T2T_1 / T_2. b) Liny podnoszące most są nawijane na dwa identyczne kołowroty ręczne. Każdy kołowrót obsługuje jedna osoba. Promień bębna (walca), na który nawija się lina, wynosi r=12 cmr = 12\text{ cm}, a promień ramienia korby to R=80 cmR = 80\text{ cm}. Oblicz siłę FF, którą każda osoba musi przyłożyć prostopadle do ramienia korby, aby rozpocząć podnoszenie mostu z położenia początkowego, gdy kąt liny wynosi α1=30∘\alpha_1 = 30^\circ. Przyjmij przyspieszenie ziemskie g=9,81 m/s2g = 9{,}81\text{ m/s}^2 lub w przybliżeniu g=10 m/s2g = 10\text{ m/s}^2.

Odpowiedź i wynik końcowy

a) Stosunek sił naciągu pojedynczej liny w obu położeniach kątowych wynosi: T1T2=sin⁡α2sin⁡α1=sin⁡45∘sin⁡30∘=2≈1,41\frac{T_1}{T_2} = \frac{\sin \alpha_2}{\sin \alpha_1} = \frac{\sin 45^\circ}{\sin 30^\circ} = \sqrt{2} \approx 1{,}41 Siła naciągu liny w położeniu α1=30∘\alpha_1 = 30^\circ jest 2\sqrt{2}-krotnie większa niż w położeniu α2=45∘\alpha_2 = 45^\circ. b) Wartość siły, jaką każda z osób musi działać prostopadle na ramię korby: F=T1⋅rR=Mg⋅r4Rsin⁡α1F = \frac{T_1 \cdot r}{R} = \frac{M g \cdot r}{4 R \sin \alpha_1} Podstawiając wartości liczbowe: - dla g=9,81 m/s2g = 9{,}81\text{ m/s}^2: F=882,9 N≈883 NF = 882{,}9\text{ N} \approx 883\text{ N} (przy sile naciągu liny T1=5886 NT_1 = 5886\text{ N}) - dla g=10 m/s2g = 10\text{ m/s}^2: F=900 NF = 900\text{ N} (przy sile naciągu liny T1=6000 NT_1 = 6000\text{ N}) a: Stosunek sił naciągu pojedynczej liny w obu położeniach kątowych wynosi: T1T2=sin⁡α2sin⁡α1=sin⁡45∘sin⁡30∘=2≈1,41\frac{T_1}{T_2} = \frac{\sin \alpha_2}{\sin \alpha_1} = \frac{\sin 45^\circ}{\sin 30^\circ} = \sqrt{2} \approx 1{,}41 Siła naciągu liny w położeniu α1=30∘\alpha_1 = 30^\circ jest 2\sqrt{2}-krotnie większa niż w położeniu α2=45∘\alpha_2 = 45^\circ.
Ilustracja do zadaniaWidok boczny mostu poziomego długości L=5 m, obracającego się wokół zawiasu O. Ciężar Q=Mg działa w środku S. Dwie symetryczne liny są pokazane jako jedna linia od bębna do końca mostu. Kołowrót mocuje się do belki nad nim. Wektor T zaczyna się dokładnie w punkcie mocowania liny na końcu mostu i biegnie wzdłuż liny ku bębnowi; α=30°.OS = L/2Q = MgL = 5 m2 symetryczne linyTα=30°