Zadanie Zadanie 6.3.2: Równowaga asymetrycznej platformy treningowej

Punkty
5 pkt
Dział
Bryła sztywna · Środek ciężkości i energia potencjalna bryły sztywnej
Trudność
Poziom trudności: łatwe
Asymetryczna platforma treningowa o długości L=4 mL = 4\text{ m} i masie M=80 kgM = 80\text{ kg} jest podparta w punkcie OO, przesuniętym o d=0,4 md = 0{,}4\text{ m} względem jej geometrycznego środka i środka masy SS. Na platformę wchodzą dwaj ćwiczący o masach m1=70 kgm_1 = 70\text{ kg} oraz m2=50 kgm_2 = 50\text{ kg}. Wyznacz ogólny warunek równowagi oraz położenie drugiej osoby, gdy pierwsza stoi w odległości x1=1,6 mx_1 = 1{,}6\text{ m} od punktu OO.

Treść zadania

Asymetryczna platforma treningowa (równoważnia) o długości L=4 mL = 4\text{ m} i masie M=80 kgM = 80\text{ kg} jest podparta w punkcie OO, który jest przesunięty o d=0,4 md = 0{,}4\text{ m} względem jej geometrycznego środka i środka masy SS. Na platformę wchodzą dwaj ćwiczący o masach m1=70 kgm_1 = 70\text{ kg} oraz m2=50 kgm_2 = 50\text{ kg}. a) Wyznacz ogólny warunek równowagi poziomej platformy (zależność wiążącą odległości x1x_1 i x2x_2 obu osób od punktu podparcia OO, gdy osoby znajdują się po przeciwnych stronach punktu OO, a środek masy SS platformy leży po tej samej stronie co druga osoba). b) Oblicz odległość x2x_2 od punktu podparcia OO, na jakiej musi stanąć druga osoba, jeśli pierwsza osoba staje na skraju ramienia w odległości x1=1,6 mx_1 = 1{,}6\text{ m} od punktu OO (po przeciwnej stronie punktu podparcia niż środek masy SS). c) Wyjaśnij, czy istnieje tylko jedno takie położenie ćwiczących gwarantujące poziomą równowagę platformy, oraz jak warunek ten łączy się z położeniem środka masy całego układu.

Odpowiedź i wynik końcowy

a) Ogólny warunek równowagi poziomej platformy: m1x1=Md+m2x2  ⟺  m2x2=m1x1−Mdm_1 x_1 = M d + m_2 x_2 \iff m_2 x_2 = m_1 x_1 - M d b) Położenie drugiej osoby dla x1=1,6 mx_1 = 1{,}6\text{ m}: x2=m1x1−Mdm2=70⋅1,6−80⋅0,450 m=8050 m=1,6 mx_2 = \frac{m_1 x_1 - M d}{m_2} = \frac{70 \cdot 1{,}6 - 80 \cdot 0{,}4}{50}\text{ m} = \frac{80}{50}\text{ m} = 1{,}6\text{ m} c) Nie istnieje tylko jedno położenie – równanie momentów wiąże dwie zmienne (x1,x2)(x_1, x_2), zatem dla każdego dopuszczalnego położenia pierwszej osoby x1x_1 istnieje odpowiadające mu położenie x2x_2, co daje nieskończenie wiele stanów równowagi. Fizycznie warunek ten oznacza, że wypadkowy środek masy całego układu (platforma + dwie osoby) leży dokładnie na pionowej prostej przechodzącej przez punkt podparcia OO. a: Ogólny warunek równowagi poziomej platformy: m1x1=Md+m2x2  ⟺  m2x2=m1x1−Mdm_1 x_1 = M d + m_2 x_2 \iff m_2 x_2 = m_1 x_1 - M d b: Położenie drugiej osoby dla x1=1,6 mx_1 = 1{,}6\text{ m}: x2=m1x1−Mdm2=70⋅1,6−80⋅0,450 m=8050 m=1,6 mx_2 = \frac{m_1 x_1 - M d}{m_2} = \frac{70 \cdot 1{,}6 - 80 \cdot 0{,}4}{50}\text{ m} = \frac{80}{50}\text{ m} = 1{,}6\text{ m} c: Nie istnieje tylko jedno położenie – równanie momentów wiąże dwie zmienne (x1,x2)(x_1, x_2), zatem dla każdego dopuszczalnego położenia pierwszej osoby x1x_1 istnieje odpowiadające mu położenie x2x_2, co daje nieskończenie wiele stanów równowagi. Fizycznie warunek ten oznacza, że wypadkowy środek masy całego układu (platforma + dwie osoby) leży dokładnie na pionowej prostej przechodzącej przez punkt podparcia OO.
Ilustracja do zadaniaPozioma jednorodna platforma o długości L=4 m i masie M=80 kg jest podparta w punkcie O, 0,4 m na lewo od środka masy S. Osoba o masie m1=70 kg stoi 1,6 m na lewo od O, a osoba o masie m2=50 kg stoi 1,6 m na prawo od O. Ciężary obu osób i platformy działają pionowo w dół, reakcja podpory R_O działa pionowo w górę.OSQ1 = m1 gQ = M gQ2 = m2 gROx1 = 1,6 mx2 = 1,6 md = 0,4 mWarunek równowagi momentów względem O