Zadanie Zadanie 6.3.4: Energia potencjalna i równowaga bryły sztywnej

Punkty
4 pkt
Dział
Bryła sztywna · Środek ciężkości i energia potencjalna bryły sztywnej
Trudność
Poziom trudności: średnie
Jednorodne sztywne ramię mechanizmu o masie m=1,2 kgm = 1{,}2\text{ kg} zamocowano obrotowo na jednym z jego końców. Na wykresie przedstawiono zależność energii potencjalnej grawitacji EpE_p tego ramienia od kąta obrotu α\alpha w przedziale [0,2π] rad[0, 2\pi]\text{ rad}. Wartość minimalna energii wynosi Ep,min⁡=0 JE_{p,\min} = 0\text{ J} (dla α=π rad\alpha = \pi\text{ rad}, gdy ramię zwisa pionowo w dół), natomiast wartość maksymalna wynosi Ep,max⁡=18 JE_{p,\max} = 18\text{ J} (dla α=0\alpha = 0 oraz α=2π rad\alpha = 2\pi\text{ rad}, gdy ramię jest ustawione pionowo w górę). Przyjmij przyspieszenie ziemskie g=10 m/s2g = 10\text{ m/s}^2. Na podstawie podanych informacji: a) określ, jakim kątom obrotu α\alpha odpowiada stan równowagi trwałej (statecznej), a jakim stan równowagi chwiejnej (nietrwałej), b) oblicz pracę siły zewnętrznej potrzebną do powolnego obrócenia ramienia ze stanu równowagi trwałej do stanu równowagi chwiejnej, c) wyznacz długość ramienia LL.

Treść zadania

Jednorodne sztywne ramię mechanizmu o masie m=1,2 kgm = 1{,}2\text{ kg} zamocowano obrotowo na jednym z jego końców. Na wykresie obok przedstawiono zależność energii potencjalnej grawitacji EpE_p tego ramienia od kąta obrotu α\alpha w przedziale [0,2π] rad[0, 2\pi]\text{ rad}. Wartość minimalna energii wynosi Ep,min⁡=0 JE_{p,\min} = 0\text{ J} (dla α=π rad\alpha = \pi\text{ rad}, gdy ramię zwisa pionowo w dół). Wartość maksymalna wynosi Ep,max⁡=18 JE_{p,\max} = 18\text{ J} (dla α=0\alpha = 0 oraz α=2π rad\alpha = 2\pi\text{ rad}, gdy ramię jest ustawione pionowo w górę). Przyjmij przyspieszenie ziemskie g=10 m/s2g = 10\text{ m/s}^2. Na podstawie podanych informacji i wykresu: a) określ, jakim kątom obrotu α\alpha odpowiada stan równowagi trwałej (statecznej), a jakim stan równowagi chwiejnej (nietrwałej), b) oblicz pracę siły zewnętrznej potrzebną do powolnego obrócenia ramienia ze stanu równowagi trwałej do stanu równowagi chwiejnej, c) wyznacz długość ramienia LL.

Odpowiedź i wynik końcowy

a) Równowaga trwała (stateczna) występuje dla kąta α=π rad\alpha = \pi\text{ rad} (minimum energii potencjalnej Ep,min⁡=0 JE_{p,\min} = 0\text{ J}). Równowaga chwiejna (nietrwała) występuje dla kątów α=0 rad\alpha = 0\text{ rad} oraz α=2π rad\alpha = 2\pi\text{ rad} (maksimum energii potencjalnej Ep,max⁡=18 JE_{p,\max} = 18\text{ J}). b) Praca sił zewnętrznych: W=ΔEp=Ep,max⁡−Ep,min⁡=18 J−0 J=18 JW = \Delta E_p = E_{p,\max} - E_{p,\min} = 18\text{ J} - 0\text{ J} = 18\text{ J} c) Długość ramienia mechanizmu: L=ΔEpmg=18 J1,2 kg⋅10 m/s2=1,5 mL = \frac{\Delta E_p}{m g} = \frac{18\text{ J}}{1{,}2\text{ kg} \cdot 10\text{ m/s}^2} = 1{,}5\text{ m} a: Równowaga trwała (stateczna) występuje dla kąta α=π rad\alpha = \pi\text{ rad} (minimum energii potencjalnej Ep,min⁡=0 JE_{p,\min} = 0\text{ J}). Równowaga chwiejna (nietrwała) występuje dla kątów α=0 rad\alpha = 0\text{ rad} oraz α=2π rad\alpha = 2\pi\text{ rad} (maksimum energii potencjalnej Ep,max⁡=18 JE_{p,\max} = 18\text{ J}). b: Praca sił zewnętrznych: W=ΔEp=Ep,max⁡−Ep,min⁡=18 J−0 J=18 JW = \Delta E_p = E_{p,\max} - E_{p,\min} = 18\text{ J} - 0\text{ J} = 18\text{ J} c: Długość ramienia mechanizmu: L=ΔEpmg=18 J1,2 kg⋅10 m/s2=1,5 mL = \frac{\Delta E_p}{m g} = \frac{18\text{ J}}{1{,}2\text{ kg} \cdot 10\text{ m/s}^2} = 1{,}5\text{ m}
Ilustracja do zadaniaWykres E_p(α) ma maksimum 18 J przy α=0 i 2π oraz minimum 0 J przy α=π; obok pokazano dolne i górne położenie równowagi ramienia.α [rad]y1800OSC1SC2L