Zadanie Zadanie 6.3.5: Przechylanie jednorodnej skrzyni i praca zewnętrzna

Punkty
5 pkt
Dział
Bryła sztywna · Środek ciężkości i energia potencjalna bryły sztywnej
Trudność
Poziom trudności: średnie
Jednorodna sześcienna skrzynia ładunkowa o krawędzi a=0,8 ma = 0{,}8\text{ m} i masie m=25 kgm = 25\text{ kg} spoczywa na poziomej podłodze. Przechylamy skrzynię powoli siłą zewnętrzną wokół jednej z jej dolnych krawędzi. a) Zidentyfikuj stany równowagi skrzyni w trzech położeniach: 1) w położeniu spoczynku (podstawa płasko na podłodze), 2) w położeniu przechyłu o kąt 45∘45^\circ, w którym przekątna przekroju pionowego przechodząca przez oś obrotu ustawiona jest pionowo (środek masy znajduje się dokładnie nad krawędzią podparcia), 3) po przewróceniu na sąsiednią ścianę boczną. b) Wyznacz graniczny kąt nachylenia podstawy skrzyni do podłoża αgr\alpha_{\text{gr}}, po przekroczeniu którego skrzynia przewróci się samoczynnie na sąsiednią ścianę bez udziału siły zewnętrznej. c) Oblicz minimalną pracę siły zewnętrznej WW, którą należy wykonać, aby powoli doprowadzić skrzynię z położenia początkowego (1) do stanu równowagi chwiejnej (2). Przyjmij przyspieszenie ziemskie g=9,81 m/s2g = 9{,}81\text{ m/s}^2.

Odpowiedź i wynik końcowy

a) Położenia 1 i 3 to stany równowagi trwałej (minimum energii potencjalnej na podstawie). Położenie 2 (przechył o 45∘45^\circ) to stan równowagi chwiejnej (maksimum energii potencjalnej, środek masy pionowo nad krawędzią). b) Kąt graniczny wynosi αgr=45∘=π4 rad\alpha_{\text{gr}} = 45^\circ = \frac{\pi}{4}\,\text{rad}. Skrzynia nie przewraca się samoczynnie dla kątów 0≤α<45∘0 \le \alpha < 45^\circ. c) Praca siły zewnętrznej wynosi W=mga2(2−1)≈40,63 JW = \frac{m g a}{2} (\sqrt{2} - 1) \approx 40{,}63\,\text{J} (dla g=9,81 m/s2g = 9{,}81\,\text{m/s}^2; dla g=10 m/s2g = 10\,\text{m/s}^2 wynosi W≈41,42 JW \approx 41{,}42\,\text{J}). a: Położenia 1 i 3 to stany równowagi trwałej (minimum energii potencjalnej na podstawie). Położenie 2 (przechył o 45∘45^\circ) to stan równowagi chwiejnej (maksimum energii potencjalnej, środek masy pionowo nad krawędzią). b: Kąt graniczny wynosi αgr=45∘=π4 rad\alpha_{\text{gr}} = 45^\circ = \frac{\pi}{4}\,\text{rad}. Skrzynia nie przewraca się samoczynnie dla kątów 0≤α<45∘0 \le \alpha < 45^\circ. c: Praca siły zewnętrznej wynosi W=mga2(2−1)≈40,63 JW = \frac{m g a}{2} (\sqrt{2} - 1) \approx 40{,}63\,\text{J} (dla g=9,81 m/s2g = 9{,}81\,\text{m/s}^2; dla g=10 m/s2g = 10\,\text{m/s}^2 wynosi W≈41,42 JW \approx 41{,}42\,\text{J}).