Zadanie Zadanie 6.3.8: Graniczny kąt nachylenia pochylni dla stabilności walca

Punkty
4 pkt
Dział
Bryła sztywna · Środek ciężkości i energia potencjalna bryły sztywnej
Trudność
Poziom trudności: trudne
Jednorodny walec o średnicy podstawy D=0,6 mD = 0,6\text{ m} (promieniu R=0,3 mR = 0,3\text{ m}) i wysokości H=1,4 mH = 1,4\text{ m} transportowany jest na regulowanej pochylni o kącie nachylenia α\alpha do poziomu. Współczynnik tarcia statycznego między podstawą walca a powierzchnią pochylni jest na tyle duży, że walec nie ślizga się po równi. a) Wyznacz i uzasadnij warunek geometryczny stabilności walca na pochylni (przejście pionowej linii działania siły ciężkości przez powierzchnię podstawy). b) Wyprowadź wzór na maksymalny kąt nachylenia pochylni αmax⁡\alpha_{\max}, przy którym walec nie ulegnie wywróceniu, i oblicz jego wartość.

Treść zadania

Jednorodny walec (np. bęben transportowy) o średnicy podstawy D=0,6 mD = 0{,}6\text{ m} (promieniu R=0,3 mR = 0{,}3\text{ m}) i wysokości H=1,4 mH = 1{,}4\text{ m} spoczywa na regulowanej pochylni o kącie nachylenia α\alpha do poziomu. Współczynnik tarcia statycznego między podstawą walca a powierzchnią pochylni jest na tyle duży, że wyklucza zjawisko poślizgu. **Polecenia:** a) Sformułuj i uzasadnij warunek geometryczny stabilności walca na pochylni w odniesieniu do położenia pionowej linii działania siły ciężkości względem powierzchni podstawy. b) Wyprowadź zależność na maksymalny kąt nachylenia pochylni αmax⁡\alpha_{\max}, przy którym walec nie ulegnie wywróceniu, i oblicz jego wartość liczbową.

Odpowiedź i wynik końcowy

a) Warunek stabilności: Walec zachowuje stabilną równowagę, dopóki pionowa linia działania siły ciężkości poprowadzona ze środka masy SS przecina powierzchnię podparcia (podstawę walca). W chwili granicznej linia ta przechodzi dokładnie przez dolną krawędź podstawy OO. b) Wzór na maksymalny (graniczny) kąt nachylenia pochylni: αmax⁡=arctg⁡(DH)=arctg⁡(2RH)\alpha_{\max} = \operatorname{arctg}\left(\frac{D}{H}\right) = \operatorname{arctg}\left(\frac{2R}{H}\right) Wartość liczbowa: αmax⁡=arctg⁡(0,61,4)=arctg⁡(37)≈23,2∘(≈0,405 rad)\alpha_{\max} = \operatorname{arctg}\left(\frac{0{,}6}{1{,}4}\right) = \operatorname{arctg}\left(\frac{3}{7}\right) \approx 23{,}2^\circ \quad (\approx 0{,}405\,\text{rad}) Dla α>αmax⁡\alpha > \alpha_{\max} walec ulegnie samoczynnemu wywróceniu wokół krawędzi OO. a: Warunek stabilności: Walec zachowuje stabilną równowagę, dopóki pionowa linia działania siły ciężkości poprowadzona ze środka masy SS przecina powierzchnię podparcia (podstawę walca). W chwili granicznej linia ta przechodzi dokładnie przez dolną krawędź podstawy OO. b: Wzór na maksymalny (graniczny) kąt nachylenia pochylni: αmax⁡=arctg⁡(DH)=arctg⁡(2RH)\alpha_{\max} = \operatorname{arctg}\left(\frac{D}{H}\right) = \operatorname{arctg}\left(\frac{2R}{H}\right) Wartość liczbowa: αmax⁡=arctg⁡(0,61,4)=arctg⁡(37)≈23,2∘(≈0,405 rad)\alpha_{\max} = \operatorname{arctg}\left(\frac{0{,}6}{1{,}4}\right) = \operatorname{arctg}\left(\frac{3}{7}\right) \approx 23{,}2^\circ \quad (\approx 0{,}405\,\text{rad}) Dla α>αmax⁡\alpha > \alpha_{\max} walec ulegnie samoczynnemu wywróceniu wokół krawędzi OO.