Zadanie Zadanie 6.4.12: Energia kinetyczna i potencjalna wahadła fizycznego

Jednorodne sztywne ramię mechanizmu wahliwego o długości

L = 2,0

m i masie

m = 2,5

kg jest zawieszone obrotowo na poziomej osi przechodzącej przez jego górny koniec (moment bezwładności względem osi obrotu wynosi

I = \frac{1}{3}mL^2

). Ramię odchylono od pionu o kąt

\alpha = 60^{\circ}

i puszczono swobodnie bez prędkości początkowej. a) Wyprowadź wzór na zmianę wysokości środka masy

\Delta h

oraz prędkość kątową

\omega

ramienia w chwili przechodzenia przez pionowe położenie równowagi. b) Oblicz prędkość liniową

v

swobodnego dolnego końca ramienia w położeniu równowagi, przyjmując przyspieszenie ziemskie

g = 9,81\,\text{m/s}^2

(lub

g = 10\,\text{m/s}^2

).

Treść zadania

Jednorodne sztywne ramię mechanizmu wahliwego o długości

L = 2{,}0\text{ m}

i masie

m = 2{,}5\text{ kg}

jest zawieszone obrotowo na poziomej osi przechodzącej przez jego górny koniec (moment bezwładności względem osi obrotu wynosi

I = \frac{1}{3}mL^2

). Ramię odchylono od pionu o kąt

\alpha = 60^{\circ}

i puszczono swobodnie bez prędkości początkowej. a) Wyprowadź wzór na zmianę wysokości środka masy

\Delta h

oraz prędkość kątową

\omega

ramienia w chwili przechodzenia przez pionowe położenie równowagi. b) Oblicz prędkość liniową

v

swobodnego dolnego końca ramienia w położeniu równowagi, przyjmując

g = 9{,}81\text{ m/s}^2

(oraz dla

g = 10\text{ m/s}^2

).

a) Wzory ogólne:

\Delta h = \frac{L}{2}(1 - \cos \alpha) = \frac{L}{4} = 0{,}50\text{ m}

\omega = \sqrt{\frac{3g}{2L}} \approx 2{,}71\text{ rad/s} \quad (\text{dla } g = 9{,}81\text{ m/s}^2)

b) Prędkość liniowa swobodnego końca ramienia:

v = \sqrt{\frac{3}{2}gL}

- Dla

g = 9{,}81\text{ m/s}^2

:

v = \sqrt{29{,}43} \approx 5{,}42\text{ m/s}

- Dla

g = 10\text{ m/s}^2

:

v = \sqrt{30} \approx 5{,}48\text{ m/s}

a: Wzory ogólne:

\Delta h = \frac{L}{2}(1 - \cos \alpha) = \frac{L}{4} = 0{,}50\text{ m}

\omega = \sqrt{\frac{3g}{2L}} \approx 2{,}71\text{ rad/s} \quad (\text{dla } g = 9{,}81\text{ m/s}^2)

b: Prędkość liniowa swobodnego końca ramienia:

v = \sqrt{\frac{3}{2}gL}

- Dla

g = 9{,}81\text{ m/s}^2

:

v = \sqrt{29{,}43} \approx 5{,}42\text{ m/s}

- Dla

g = 10\text{ m/s}^2

:

v = \sqrt{30} \approx 5{,}48\text{ m/s}