Zadanie Zadanie 6.4.14: Ewolucja z powracającą obręczą (rotacja wsteczna)

Punkty
5 pkt
Dział
Bryła sztywna · Energia kinetyczna w ruchu obrotowym
Trudność
Poziom trudności: trudne
Podczas pokazu gimnastyki artystycznej zawodniczka wykonuje widowiskową ewolucję z cienkościenną obręczą o masie MM i promieniu RR (moment bezwładności względem osi symetrii I=MR2I = M R^2). Obręcz zostaje pchnięta w przód po poziomym podłożu z początkową prędkością postępową środka masy v0v_0, a jednocześnie zawodniczka nadaje jej ruch obrotowy z początkową prędkością kątową ω0\omega_0. Współczynnik tarcia kinetycznego obręczy o podłoże wynosi μ\mu. Początkowo obręcz porusza się z poślizgiem, po czym zatrzymuje się w ruchu postępowym i powraca do rąk zawodniczki, tocząc się już bez poślizgu. a) Wyjaśnij jakościowo, w którą stronę zawodniczka musi wprawić obręcz w ruch obrotowy (zgodnie z kierunkiem toczenia czy przeciwnie – tzw. rotacja wsteczna / backspin), aby powrót był możliwy. b) Sporządź bilans sił działających na obręcz w fazie poślizgu i wyznacz zależności prędkości liniowej v(t)v(t) oraz prędkości kątowej ω(t)\omega(t) od czasu. c) Wyznacz chwilę czasu tkt_k, w której ustaje poślizg, oraz wyprowadź zależność pomiędzy prędkością początkową v0v_0, prędkością kątową ω0\omega_0 i promieniem RR, która gwarantuje, że obręcz powróci do zawodniczki.

Odpowiedź i wynik końcowy

a) Zawodniczka musi nadać obręczy rotację wsteczną (tzw. backspin, kręcąc obręczą „do siebie” / przeciwnie do kierunku ruchu wskazówek zegara przy ruchu w prawo). b) v(t)=v0−μgtv(t) = v_0 - \mu g t, ω(t)=ω0−μgRt\omega(t) = \omega_0 - \frac{\mu g}{R} t. c) Chwila ustania poślizgu: tk=v0+ω0R2μgt_k = \frac{v_0 + \omega_0 R}{2 \mu g}. Warunek powrotu obręczy do zawodniczki: v0<ω0Rv_0 < \omega_0 R. a: Zawodniczka musi nadać obręczy rotację wsteczną (tzw. backspin, kręcąc obręczą „do siebie” / przeciwnie do kierunku ruchu wskazówek zegara przy ruchu w prawo).