Zadanie Zadanie 6.4.1: Twierdzenie Steinera dla jednorodnego pręta

Jednorodny profil nośny o masie

M = 1{,}2\text{ kg}

i długości

L = 1{,}5\text{ m}

może obracać się wokół osi prostopadłej do jego długości. Moment bezwładności profilu względem osi

O

przechodzącej przez jego środek masy wynosi

I_0 = \frac{1}{12} M L^2

. Korzystając z twierdzenia Steinera, wyznacz moment bezwładności profilu względem równoległych osi obrotu

O'

: a) przechodzącej przez jeden z końców profilu, b) odległej o

\frac{1}{3} L

od jednego z końców profilu, c) odległej o

\frac{1}{3} L

od jednego z końców profilu, gdy na obu skrajnych końcach profilu zamocowano dodatkowo punktowe obciążniki o masie

m = 0{,}3\text{ kg}

każdy. Podaj wzory ogólne oraz oblicz wartości liczbowe momentów bezwładności dla każdego przypadku.

Odpowiedź i wynik końcowy

a) Wzór ogólny:

I_a = \frac{1}{3} M L^2

, wartość liczbowa:

I_a = 0{,}9\text{ kg}\cdot\text{m}^2

b) Wzór ogólny:

I_b = \frac{1}{9} M L^2

, wartość liczbowa:

I_b = 0{,}3\text{ kg}\cdot\text{m}^2

c) Wzór ogólny:

I_c = \frac{1}{9} L^2 (M + 5m)

, wartość liczbowa:

I_c = 0{,}675\text{ kg}\cdot\text{m}^2

*(Uwaga dydaktyczna: w szczególnym przypadku, gdy masy obciążników są równe masie pręta

m = M

, wyrażenie redukuje się do

I_c = \frac{2}{3} M L^2

)* a: Wzór ogólny:

I_a = \frac{1}{3} M L^2

, wartość liczbowa:

I_a = 0{,}9\text{ kg}\cdot\text{m}^2

b: Wzór ogólny:

I_b = \frac{1}{9} M L^2

, wartość liczbowa:

I_b = 0{,}3\text{ kg}\cdot\text{m}^2

c: Wzór ogólny:

I_c = \frac{1}{9} L^2 (M + 5m)

, wartość liczbowa:

I_c = 0{,}675\text{ kg}\cdot\text{m}^2

*(Uwaga dydaktyczna: w szczególnym przypadku, gdy masy obciążników są równe masie pręta

m = M

, wyrażenie redukuje się do

I_c = \frac{2}{3} M L^2