Zadanie Zadanie 6.4.3: Staczanie się jednorodnej kuli bez poślizgu

Jednorodna kula stalowa o promieniu

R = 8\text{ cm}

i masie

m = 1{,}0\text{ kg}

stacza się bez poślizgu z rampy laboratoryjnej o wysokości

H = 1{,}2\text{ m}

i kącie nachylenia

\alpha = 30^\circ

. a) Korzystając z zasady zachowania energii mechanicznej (uwzględniając energię kinetyczną ruchu postępowego i obrotowego, moment bezwładności kuli

I = \frac{2}{5} m R^2

), oblicz prędkość liniową kuli na dole rampy oraz czas staczania

t

. b) Następnie kula toczy się po poziomym chropowatym torze i zatrzymuje po przebyciu drogi

s = 6{,}0\text{ m}

. Oblicz średnią siłę oporu działającą na kulę podczas toczenia. Przyjmij

g = 9{,}81\text{ m/s}^2

(lub

10\text{ m/s}^2

).

Treść zadania

Jednorodna kula stalowa o promieniu

R = 8\text{ cm}

i masie

m = 1{,}0\text{ kg}

stacza się bez poślizgu z rampy laboratoryjnej o wysokości

H = 1{,}2\text{ m}

i kącie nachylenia

\alpha = 30^\circ

. a) Korzystając z zasady zachowania energii mechanicznej (uwzględniając energię kinetyczną ruchu postępowego i obrotowego, moment bezwładności kuli

I = \frac{2}{5} m R^2

), oblicz prędkość liniową kuli na dole rampy oraz czas staczania

t

. b) Następnie kula toczy się po poziomym chropowatym torze i zatrzymuje po przebyciu drogi

s = 6{,}0\text{ m}

. Oblicz średnią siłę oporu działającą na kulę podczas toczenia. Przyjmij

g = 9{,}81\text{ m/s}^2

(lub

g = 10\text{ m/s}^2

).

**Wyniki końcowe:** a) Prędkość liniowa kuli u podstawy rampy:

v = \sqrt{\frac{10}{7} g H} \approx 4{,}10\text{ m/s} \quad (\text{dla } g = 10\text{ m/s}^2: \; v \approx 4{,}14\text{ m/s})

Czas staczania kuli ze szczytu na dół rampy:

t = \frac{2 L}{v} \approx 1{,}17\text{ s} \quad (\text{dla } g = 10\text{ m/s}^2: \; t \approx 1{,}16\text{ s})

b) Średnia siła oporu działająca na kulę na torze poziomym:

F_{\text{op}} = \frac{m g H}{s} \approx 1{,}96\text{ N} \quad (\text{dla } g = 10\text{ m/s}^2: \; F_{\text{op}} = 2{,}0\text{ N})

a: Prędkość liniowa kuli u podstawy rampy:

v = \sqrt{\frac{10}{7} g H} \approx 4{,}10\text{ m/s} \quad (\text{dla } g = 10\text{ m/s}^2: \; v \approx 4{,}14\text{ m/s})

Czas staczania kuli ze szczytu na dół rampy:

t = \frac{2 L}{v} \approx 1{,}17\text{ s} \quad (\text{dla } g = 10\text{ m/s}^2: \; t \approx 1{,}16\text{ s})

b: Średnia siła oporu działająca na kulę na torze poziomym:

F_{\text{op}} = \frac{m g H}{s} \approx 1{,}96\text{ N} \quad (\text{dla } g = 10\text{ m/s}^2: \; F_{\text{op}} = 2{,}0\text{ N})