Zadanie Zadanie 6.4.5: Toczenie się kuli po wzniesieniu

Jednorodna pełna kula o masie

m = 0{,}2\text{ kg}

i promieniu

R = 4\text{ cm}

toczy się bez poślizgu po poziomym podłożu w kierunku wzniesienia o wysokości

h_1 = 35\text{ cm}

. Moment bezwładności jednorodnej kuli względem osi przechodzącej przez jej środek wynosi

I = \frac{2}{5}mR^2

. a) Oblicz minimalną wartość prędkości liniowej środka masy

v_{\text{min}}

, jaką należy nadać kuli u podstawy wzniesienia, aby dotarła na jego szczyt. b) W kolejnym doświadczeniu kula stacza się bez poślizgu ze szczytu pagórka o wysokości

h_1

(startując ze stanu spoczynku) na niższą poziomą półkę znajdującą się na wysokości

h_2 = 14\text{ cm}

. Oblicz wartość prędkości kątowej

\omega

kuli po osiągnięciu poziomu

h_2

. Przyjmij

g = 9{,}81\text{ m/s}^2

.

Treść zadania

Jednorodna pełna kula o masie

m = 0{,}2\text{ kg}

i promieniu

R = 4\text{ cm}

(

0{,}04\text{ m}

) toczy się bez poślizgu po poziomym podłożu w kierunku wzniesienia o wysokości

h_1 = 35\text{ cm}

(

0{,}35\text{ m}

). Moment bezwładności jednorodnej kuli względem osi przechodzącej przez jej środek wynosi

I = \frac{2}{5}mR^2

. a) Korzystając z zasady zachowania energii mechanicznej, oblicz minimalną wartość prędkości liniowej środka masy

v_{\text{min}}

, jaką należy nadać kuli u podstawy wzniesienia, aby dotarła na jego szczyt. b) W kolejnym doświadczeniu kula stacza się bez poślizgu ze szczytu pagórka o wysokości

h_1

(startując ze stanu spoczynku) na niższą poziomą półkę znajdującą się na wysokości

h_2 = 14\text{ cm}

(

0{,}14\text{ m}

). Oblicz wartość prędkości kątowej

\omega

kuli po osiągnięciu poziomu

h_2

. Przyjmij przyspieszenie ziemskie

g = 9{,}81\text{ m/s}^2

.

Odpowiedź i wynik końcowy

a)

v_{\text{min}} = \sqrt{\frac{10}{7}gh_1} \approx 2{,}21\text{ m/s}

(dla

g = 10\text{ m/s}^2

:

v_{\text{min}} \approx 2{,}24\text{ m/s}

) b)

\omega = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{10}{7}g(h_1 - h_2)} \approx 42{,}9\text{ rad/s}

(dla

g = 10\text{ m/s}^2

:

\omega \approx 43{,}3\text{ rad/s}

) a:

v_{\text{min}} = \sqrt{\frac{10}{7}gh_1} \approx 2{,}21\text{ m/s}

(dla

g = 10\text{ m/s}^2

:

v_{\text{min}} \approx 2{,}24\text{ m/s}

) b:

\omega = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{10}{7}g(h_1 - h_2)} \approx 42{,}9\text{ rad/s}

(dla

g = 10\text{ m/s}^2

:

\omega \approx 43{,}3\text{ rad/s}

)