Zadanie Zadanie 6.4.6: Staczanie walca pełnego i pustego z równi pochyłej

Na szczycie równi pochyłej o wysokości

h = 0{,}4\text{ m}

i długości toru

s = 1,6\text{ m}

umieszczono dwa walce o jednakowych promieniach

R

i masach

m

: walec jednorodny pełny (o momencie bezwładności

I_1 = \frac{1}{2}mR^2

) oraz cienkościenny walec pusty / rurę (o momencie bezwładności

I_2 = mR^2

). Oba ciała puszczono jednocześnie swobodnie bez prędkości początkowej. Ruch odbywa się bez poślizgu. Przyjmij przyspieszenie ziemskie

g = 9{,}81\text{ m/s}^2

(lub

g = 10\text{ m/s}^2

). a) Oblicz prędkości liniowe obu walców u podnóża równi przy staczaniu się bez poślizgu. Zinterpretuj otrzymany wynik. b) Porównaj te prędkości z prędkością klocka zsuwającego się z tej samej równi bez tarcia (

v_0 = \sqrt{2gh}

). c) Oblicz czasy staczania się obu walców i uzasadnij fizycznie, dlaczego walec pełny osiąga metę szybciej.

Treść zadania

Na szczycie równi pochyłej o wysokości

h = 0{,}4\text{ m}

i długości toru

s = 1{,}6\text{ m}

znajdują się dwa walce o jednakowym promieniu

R

i masie

m

: jednorodny walec pełny, którego moment bezwładności wynosi

I_1 = \frac{1}{2}mR^2

, oraz cienkościenny walec pusty (rura), którego moment bezwładności wynosi

I_2 = mR^2

. Oba walce puszczono jednocześnie z miejsca, bez prędkości początkowej. Staczają się bez poślizgu. Przyjmij przyspieszenie ziemskie

g = 9{,}81\text{ m/s}^2

(lub

g = 10\text{ m/s}^2

). a) Oblicz prędkość liniową każdego walca u podnóża równi podczas staczania bez poślizgu. Zinterpretuj otrzymany wynik. b) Porównaj te prędkości z prędkością klocka zsuwającego się z tej samej równi bez tarcia (

v_0 = \sqrt{2gh}

). c) Oblicz czasy staczania się obu walców i uzasadnij fizycznie, dlaczego walec pełny osiąga metę szybciej.

Odpowiedź i wyniki końcowe

a) Prędkości liniowe u podnóża równi: - Walec pełny:

v_1 = \sqrt{\frac{4}{3}gh} \approx 2{,}29\text{ m/s}

(dla

g = 10\text{ m/s}^2

:

v_1 \approx 2{,}31\text{ m/s}

). - Walec pusty:

v_2 = \sqrt{gh} \approx 1{,}98\text{ m/s}

(dla

g = 10\text{ m/s}^2

:

v_2 = 2{,}00\text{ m/s}

). b) Prędkość zsuwającego się klocka bez tarcia wynosi

v_0 = \sqrt{2gh} \approx 2{,}80\text{ m/s}

(dla

g = 10\text{ m/s}^2

:

v_0 \approx 2{,}83\text{ m/s}

). Zachodzi relacja:

v_0 > v_1 > v_2

. W przypadku zsuwania się klocka bez tarcia cała początkowa energia potencjalna przechodzi w energię kinetyczną ruchu postępowego, podczas gdy przy staczaniu walców część energii jest magazynowana w ruchu obrotowym. c) Czasy staczania się walców z równi (

t = \frac{2s}{v}

): - Walec pełny:

t_1 \approx 1{,}40\text{ s}

(dla

g = 10\text{ m/s}^2

:

t_1 \approx 1{,}39\text{ s}

). - Walec pusty:

t_2 \approx 1{,}62\text{ s}

(dla

g = 10\text{ m/s}^2

:

t_2 = 1{,}60\text{ s}

). Walec pełny wygrywa wyścig (

t_1 < t_2

), ponieważ dzięki mniejszemu momentowi bezwładności (

I_1 < I_2

) ma mniejszy opór obrotowy, osiąga większe przyspieszenie liniowe i większą część energii przeznacza na ruch postępowy środka masy.