Zadanie Zadanie 6.5.14: Ruch skrzyni po równi pochyłej z odwijaniem liny z kołowrotu

Punkty
4 pkt
Dział
Bryła sztywna · Druga zasada dynamiki w ruchu obrotowym
Trudność
Poziom trudności: trudne
Kołowrót o masie m=5 kgm=5\,\text{kg} na szczycie równi pochyłej 30∘30^\circ połączony liną ze skrzynią M=200 kgM=200\,\text{kg} (μ=0,4\mu=0,4). Oblicz przyspieszenie i drogę w 2 s2\,\text{s}.

Treść zadania

Na szczycie równi pochyłej o kącie nachylenia α=30∘\alpha = 30^\circ zamontowano kołowrót o masie m=5 kgm = 5\,\text{kg} i promieniu R=10 cmR = 10\,\text{cm}, będący jednorodnym walcem (I=12mR2I = \frac{1}{2}m R^2) mogącym obracać się bez tarcia wokół nieruchomej poziomej osi. Z kołowrotu odwija się lina połączona ze skrzynią o masie M=200 kgM = 200\,\text{kg}, która zsuwa się w dół wzdłuż równi. Współczynnik tarcia kinetycznego skrzyni o powierzchnię równi wynosi μ=0,4\mu = 0,4. Układ puszczono swobodnie ze stanu spoczynku w chwili t=0t = 0. Pomijając masę liny oraz opory ruchu na osi kołowrotu, a przyjmując g=9,8 m/s2g = 9,8\,\text{m/s}^2: Oblicz: a) przyspieszenie liniowe aa skrzyni zsuwającej się po równi, b) drogę ss, jaką pokona skrzynia w czasie t=2 st = 2\,\text{s}.

Odpowiedź i wynik końcowy

a=Mg(sin⁡α−μcos⁡α)M+12m≈1,49 m/s2a = \frac{M g (\sin\alpha - \mu \cos\alpha)}{M + \frac{1}{2}m} \approx 1,49\,\text{m/s}^2, s=12at2≈3,0 ms = \frac{1}{2} a t^2 \approx 3,0\,\text{m} (dla g=9,8 m/s2g = 9,8\,\text{m/s}^2: s≈2,97 ms \approx 2,97\,\text{m})