Zadanie Zadanie 6.5.17: Staczanie się kuli z równi pochyłej bez poślizgu

Punkty
3 pkt
Dział
Bryła sztywna · Druga zasada dynamiki w ruchu obrotowym
Trudność
Poziom trudności: średnie
Kula stacza się bez poślizgu z równi o kącie α\alpha i wysokości hh. Wykaż, że a=57gsin⁡αa=\frac{5}{7}g\sin\alpha oraz v=107ghv=\sqrt{\frac{10}{7}gh} nie zależą od mm ani RR.

Treść zadania

Jednorodna kula o masie mm i promieniu RR stacza się bez poślizgu z równi pochyłej o kącie nachylenia α\alpha i wysokości hh. Moment bezwładności kuli względem osi przechodzącej przez jej środek wynosi I=25mR2I = \frac{2}{5} m R^2. Polecenia: a) Wyprowadź wzór na przyspieszenie liniowe środka masy aa oraz siłę tarcia statycznego TT z zasad dynamiki Newtona. b) Wyprowadź wzór na prędkość liniową vv kuli u podnóża równi na dwa sposoby: z równań kinematyki oraz z zasady zachowania energii mechanicznej. c) Wykaż, że ani przyspieszenie aa, ani prędkość vv nie zależą od masy mm ani promienia RR kuli.

Odpowiedź i wynik końcowy

a=57gsin⁡αa = \frac{5}{7} g \sin\alpha, T=27mgsin⁡αT = \frac{2}{7} m g \sin\alpha, v=107ghv = \sqrt{\frac{10}{7} g h}. Wartości aa oraz vv zależą wyłącznie od gg, kąta α\alpha i wysokości hh, a nie zależą od masy mm ani promienia RR.
Ilustracja do zadaniaKula toczy się bez poślizgu po równi: siła normalna i tarcie działają w punkcie styku, ciężar i przyspieszenie przyłożono w środku kuli.αQFNTah