Zadanie Zadanie 6.5.18: Staczanie się kuli zorbingowej ze stoku

Punkty
3 pkt
Dział
Bryła sztywna · Druga zasada dynamiki w ruchu obrotowym
Trudność
Poziom trudności: średnie
Kula zorbingowa (m=75 kgm=75\,\text{kg}, R=1,6 mR=1,6\,\text{m}, I=23mR2I=\frac{2}{3}mR^2) stacza się ze stoku 3∘3^\circ. Oblicz przyspieszenie aa oraz prędkość kątową ω\omega po 10 s10\,\text{s}.

Treść zadania

Kula do zorbingu wraz z zawodnikiem ma łączną masę m=75 kgm = 75\,\text{kg} i promień R=1,6 mR = 1,6\,\text{m}. Układ ten możemy w przybliżeniu traktować jako cienkościenną powłokę kulistą o momencie bezwładności I=23mR2I = \frac{2}{3} m R^2. Kula stacza się bez poślizgu ze stoku o stałym kącie nachylenia α=3∘\alpha = 3^\circ, startując ze stanu spoczynku. Przyjmując g=9,8 m/s2g = 9,8\,\text{m/s}^2 (oraz sin⁡3∘≈0,0523\sin 3^\circ \approx 0,0523), oblicz: a) przyspieszenie liniowe aa środka masy kuli podczas staczania się, b) prędkość liniową vv oraz prędkość kątową ω\omega kuli po czasie t=10 st = 10\,\text{s} od chwili rozpoczęcia ruchu.

Odpowiedź i wynik końcowy

a=35gsin⁡α≈0,31 m/s2a = \frac{3}{5} g \sin\alpha \approx 0,31\,\text{m/s}^2, v=at≈3,1 m/sv = a t \approx 3,1\,\text{m/s}, ω=vR≈1,9 rad/s\omega = \frac{v}{R} \approx 1,9\,\text{rad/s} (dla g=9,8 m/s2g = 9,8\,\text{m/s}^2: a≈0,308 m/s2a \approx 0,308\,\text{m/s}^2, ω≈1,92 rad/s\omega \approx 1,92\,\text{rad/s})