Zadanie Zadanie 6.5.21: Staczanie się pnia drewna bez poślizgu

Punkty
5 pkt
Dział
Bryła sztywna · Druga zasada dynamiki w ruchu obrotowym
Trudność
Poziom trudności: trudne
Podczas testów transportu drewna po stoku stacza się bez poślizgu okrągły, okorowany pień o średnicy d=0,8 md = 0,8\,\text{m} na całej długości. W czasie Δt=3,0 s\Delta t = 3,0\,\text{s} częstotliwość jego obrotów wzrasta jednostajnie od f1=2,0 Hzf_1 = 2,0\,\text{Hz} do f2=5,0 Hzf_2 = 5,0\,\text{Hz}. Przyjmując, że pień jest jednorodnym walcem o momencie bezwładności I=12mR2I = \frac{1}{2}m R^2 oraz przyspieszenie ziemskie g=9,81 m/s2g = 9,81\,\text{m/s}^2: a) oblicz przyspieszenie kątowe ε\varepsilon oraz przyspieszenie liniowe środka masy aa pnia, b) korzystając z zasad dynamiki dla ruchu postępowego i obrotowego wykaż, że a=23gsin⁡θa = \frac{2}{3}g\sin\theta, c) oblicz kąt nachylenia zbocza θ\theta.

Treść zadania

Okrągły, okorowany pień drewna jest transportowany po stoku i toczy się bez poślizgu. Jego średnica ma wartość d=0,8 md = 0,8\,\text{m}. W ciągu Δt=3,0 s\Delta t = 3,0\,\text{s} częstotliwość obrotów zwiększa się jednostajnie z f1=2,0 Hzf_1 = 2,0\,\text{Hz} do f2=5,0 Hzf_2 = 5,0\,\text{Hz}. Przyjmij, że pień jest jednorodnym walcem o momencie bezwładności I=12mR2I = \frac{1}{2}mR^2, a g=9,81 m/s2g = 9,81\,\text{m/s}^2. a) Oblicz przyspieszenie kątowe ε\varepsilon oraz przyspieszenie liniowe środka masy aa. b) Korzystając z równań dynamiki ruchu postępowego i obrotowego, wykaż zależność a=23gsin⁡θa = \frac{2}{3}g\sin\theta. c) Oblicz kąt nachylenia zbocza θ\theta.

Odpowiedź i wynik końcowy

a) ε=2π rad/s2≈6,28 rad/s2\varepsilon = 2\pi\,\text{rad/s}^2 \approx 6,28\,\text{rad/s}^2 a=0,8π m/s2≈2,51 m/s2a = 0,8\pi\,\text{m/s}^2 \approx 2,51\,\text{m/s}^2 b) a=23gsin⁡θa = \frac{2}{3}g\sin\theta c) θ≈22,6∘\theta \approx 22,6^\circ b: a=23gsin⁡θa = \frac{2}{3}g\sin\theta c: θ≈22,6∘\theta \approx 22,6^\circ a: ε=2π rad/s2≈6,28 rad/s2\varepsilon = 2\pi\,\text{rad/s}^2 \approx 6,28\,\text{rad/s}^2 a=0,8π m/s2≈2,51 m/s2a = 0,8\pi\,\text{m/s}^2 \approx 2,51\,\text{m/s}^2