Zadanie Zadanie 6.5.23: Walec z poślizgiem na poziomym podłożu

Punkty
5 pkt
Dział
Bryła sztywna · Druga zasada dynamiki w ruchu obrotowym
Trudność
Poziom trudności: trudne
Jednorodny walec o masie m=4,00 kgm = 4,00\,\text{kg} i promieniu R=0,15 mR = 0,15\,\text{m} (I=12mR2I = \frac{1}{2}m R^2) puszczono na chropowate poziome podłoże z prędkością początkową środka masy v0=10,0 m/sv_0 = 10,0\,\text{m/s}, bez początkowego obrotu (ω0=0\omega_0 = 0). Współczynnik tarcia kinetycznego między walcem a podłożem wynosi μ=0,25\mu = 0,25, a przyspieszenie ziemskie to g=9,81 m/s2g = 9,81\,\text{m/s}^2. a) Wyznacz zależności prędkości liniowej v(t)v(t) oraz prędkości kątowej ω(t)\omega(t) w fazie ruchu z poślizgiem. b) Oblicz czas tst_s, po którym ustał poślizg. c) Oblicz końcową prędkość liniową vkv_k w momencie przejścia w czyste toczenie bez poślizgu.

Treść zadania

Jednorodny walec o masie m=4,00 kgm = 4,00\,\text{kg} i promieniu R=0,15 mR = 0,15\,\text{m} (o momencie bezwładności I=12mR2I = \frac{1}{2}m R^2) puszczono na chropowate poziome podłoże z prędkością początkową środka masy v0=10,0 m/sv_0 = 10,0\,\text{m/s}, nadając mu początkowo czysty ruch postępowy bez obrotu (ω0=0\omega_0 = 0). Współczynnik tarcia kinetycznego między walcem a podłożem wynosi μ=0,25\mu = 0,25, a przyspieszenie ziemskie przyjmij równe g=9,81 m/s2g = 9,81\,\text{m/s}^2 (oraz porównaj z przybliżeniem g=10 m/s2g = 10\,\text{m/s}^2). Polecenia: a) Wyznacz analityczne zależności prędkości liniowej v(t)v(t) oraz prędkości kątowej ω(t)\omega(t) w fazie ruchu z poślizgiem. b) Wyprowadź wzór i oblicz czas tst_s, po którym ustaje poślizg i rozpoczyna się czyste toczenie. c) Oblicz końcową prędkość liniową vkv_k w momencie przejścia w czyste toczenie i wykaż, że zależy ona wyłącznie od v0v_0.

Odpowiedź i wynik końcowy

a) v(t)=v0−μgtv(t) = v_0 - \mu g t, ω(t)=2μgRt\omega(t) = \frac{2\mu g}{R} t b) ts=v03μg≈1,36 st_s = \frac{v_0}{3\mu g} \approx 1,36\,\text{s} (dla g=9,81 m/s2g = 9,81\,\text{m/s}^2; dla g=10 m/s2g = 10\,\text{m/s}^2: ts≈1,33 st_s \approx 1,33\,\text{s}) c) vk=23v0≈6,67 m/sv_k = \frac{2}{3}v_0 \approx 6,67\,\text{m/s} a: v(t)=v0−μgtv(t) = v_0 - \mu g t, ω(t)=2μgRt\omega(t) = \frac{2\mu g}{R} t b: ts=v03μg≈1,36 st_s = \frac{v_0}{3\mu g} \approx 1,36\,\text{s} (dla g=9,81 m/s2g = 9,81\,\text{m/s}^2; dla g=10 m/s2g = 10\,\text{m/s}^2: ts≈1,33 st_s \approx 1,33\,\text{s}) c: vk=23v0≈6,67 m/sv_k = \frac{2}{3}v_0 \approx 6,67\,\text{m/s}