Zadanie Zadanie 6.6.12: Moment pędu księżyca na orbicie eliptycznej

Punkty: 3 pkt
Dział: Bryła sztywna · Moment pędu bryły sztywnej
Trudność: Poziom trudności: średnie

Przyjmijmy, że we Wszechświecie znajduje się planeta o masie

m_1 = 5,97 \cdot 10^{24}\text{ kg}

, wokół której po orbicie eliptycznej krąży księżyc o masie

m_2 = 0,1 m_1

. Największa odległość księżyca od środka planety (apocentrum) wynosi

r_a = 1,15 \cdot 10^5\text{ km} = 1,15 \cdot 10^8\text{ m}

, a jego prędkość liniowa w tym punkcie wynosi

v_a = 5,88 \cdot 10^4\text{ m/s}

. Oblicz wartość prędkości liniowej księżyca

v_p

w punkcie największego zbliżenia do planety (perycentrum), w którym jego odległość od środka planety wynosi

r_p = 1,05 \cdot 10^5\text{ km} = 1,05 \cdot 10^8\text{ m}

. Załóż, że księżyc krąży wokół nieruchomej planety, a siła grawitacji jest siłą centralną (nie wytwarza momentu siły względem środka planety, więc moment pędu księżyca w apocentrum i perycentrum jest ściśle zachowany:

\vec{r} \perp \vec{v}

Treść zadania

Przyjmijmy istnienie planety o masie m_1 = 5,97·10²⁴ kg, wokół której po orbicie eliptycznej krąży księżyc o masie m_2 = 0,1m_1. W apocentrum odległość księżyca od środka planety wynosi r_a = 1,15·10⁵ km = 1,15·10⁸ m, a prędkość liniowa v_a = 5,88·10⁴ m/s. W perycentrum odległość od środka planety wynosi r_p = 1,05·10⁵ km = 1,05·10⁸ m. Oblicz wartość prędkości liniowej v_p w perycentrum. Załóż, że księżyc krąży wokół nieruchomej planety, a grawitacja jest siłą centralną i nie daje momentu względem środka planety, więc moment pędu w apocentrum i perycentrum jest zachowany (r ⟂ v).

Odpowiedź i wynik końcowy

v_p \approx 6,44 \cdot 10^4\text{ m/s} = 64,4\text{ km/s}