Zadanie Zadanie 6.6.16: Zderzenie wirujących krążków

Punkty
4 pkt
Dział
Bryła sztywna · Moment pędu bryły sztywnej
Trudność
Poziom trudności: średnie
Dwa krążki o momentach bezwładności I1I_1 oraz I2I_2, osadzone na wspólnej poziomej osi, wirują niezależnie bez tarcia zewnętrznego z prędkościami kątowymi odpowiednio ω1\omega_1 i ω2\omega_2. W pewnej chwili krążki zsunięto wzdłuż osi do siebie tak, że wskutek tarcia między ich powierzchniami zrównały swoje prędkości i zaczęły wirować wspólnie jako jedno ciało ze wspólną prędkością kątową ωk\omega_k. Oblicz wspólną prędkość kątową krążków ωk\omega_k po połączeniu w dwóch przypadkach: a) I1=2I2I_1 = 2 I_2, a oba krążki wirują w tę samą stronę (zgodnie z ruchem wskazówek zegara) z prędkościami kątowymi ω1=20 rad/s\omega_1 = 20\text{ rad/s} oraz ω2=14ω1=5 rad/s\omega_2 = \frac{1}{4} \omega_1 = 5\text{ rad/s}. b) I1=14I2I_1 = \frac{1}{4} I_2 (I2=4I1I_2 = 4 I_1), krążek pierwszy wiruje zgodnie z ruchem wskazówek zegara z prędkością ω1=20 rad/s\omega_1 = 20\text{ rad/s}, drugi natomiast przeciwnie do ruchu wskazówek zegara z prędkością ω2=12ω1=10 rad/s\omega_2 = \frac{1}{2} \omega_1 = 10\text{ rad/s}. Określ zwrot obrotu zlepionych krążków.

Treść zadania

Dwa krążki o momentach bezwładności I₁ i I₂ obracają się niezależnie z prędkościami kątowymi ω₁ i ω₂ na wspólnej poziomej osi, bez zewnętrznego tarcia. Gdy zostają zsunięte do siebie, tarcie między ich powierzchniami wyrównuje prędkości i krążki obracają się dalej jako jedno ciało z prędkością kątową ωₖ. Oblicz ωₖ w obu sytuacjach:\na) I₁ = 2I₂; oba krążki obracają się zgodnie z ruchem wskazówek zegara, z ω₁ = 20 rad/s oraz ω₂ = ¼ω₁ = 5 rad/s.\nb) I₁ = ¼I₂ (I₂ = 4I₁); pierwszy krążek obraca się zgodnie z ruchem wskazówek zegara z ω₁ = 20 rad/s, a drugi przeciwnie, z ω₂ = ½ω₁ = 10 rad/s. Określ kierunek obrotu połączonych krążków.

Odpowiedź i wynik końcowy

a) ωk=15 rad/s\omega_k = 15\text{ rad/s} (zgodnie z ruchem wskazówek zegara). b) ωk=4 rad/s\omega_k = 4\text{ rad/s} (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara). a: ωk=15 rad/s\omega_k = 15\text{ rad/s} (zgodnie z ruchem wskazówek zegara) b: ωk=4 rad/s\omega_k = 4\text{ rad/s} (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara)
Ilustracja do zadaniaDwa przypadki łączenia krążków na wspólnej osi. Strzałki pokazują wyłącznie zwrot obrotu; wartości prędkości kątowych są podane w etykietach i długości strzałek nie są w skali. W każdym przypadku pokazano oba krążki przed połączeniem oraz ich wspólny ruch po połączeniu.a) Ten sam zwrot obrotuω₁=20↻ω₂=5↻I₁=2I₂I₂ωₖ=15↻I₁+I₂b) Przeciwne zwroty obrotuω₁=20↻ω₂=10↺I₁=¼I₂I₂=4I₁ωₖ=4↺I₁+I₂