Zadanie Zadanie 7.8.13: Maksymalna temperatura w częściowo napełnionej cysternie alkoholowej

Punkty
4 pkt
Dział
Zjawiska cieplne · Rozszerzalność cieplna
Trudność
Poziom trudności: trudne
Wyznaczanie maksymalnego dopuszczalnego przyrostu temperatury w cysternie napełnionej w 96% alkoholem.

Treść zadania

Stalowa cysterna kolejowa została napełniona do poziomu 96%96\% swojej całkowitej objętości (k=0,96k = 0{,}96) ciekłym alkoholem etylowym w temperaturze początkowej t1=10,0∘Ct_1 = 10{,}0^\circ\text{C}. Pozostałe 4%4\% objętości stanowi poduszka gazowa zabezpieczająca przed przelaniem. Właściwości termiczne materiałów: - współczynnik rozszerzalności objętościowej alkoholu βalk=1,05⋅10−3 1K\beta_{\text{alk}} = 1{,}05 \cdot 10^{-3}\,\frac{1}{\text{K}}, - współczynnik rozszerzalności liniowej stali αs=12⋅10−6 1K\alpha_s = 12 \cdot 10^{-6}\,\frac{1}{\text{K}} (zbiornik traktujemy jako bryłę o współczynniku objętościowym βs=3αs\beta_s = 3\alpha_s). **a)** Zapisz wyrażenia na objętość alkoholu Valk(T)V_{\text{alk}}(T) oraz objętość cysterny Vzb(T)V_{\text{zb}}(T) po wzroście temperatury o ΔT\Delta T. **b)** Wyprowadź wzór na maksymalny dopuszczalny przyrost temperatury ΔTmax\Delta T_{\text{max}}, przy którym ciecz całkowicie wypełni zbiornik, lecz nie nastąpi jeszcze jej rozlanie. **c)** Oblicz wartość liczbową ΔTmax\Delta T_{\text{max}} oraz maksymalną dopuszczalną temperaturę otoczenia tmaxt_{\text{max}}, do której może nagrzać się cysterna w warunkach letnich.

Odpowiedź i wynik końcowy

**a)** Valk=0,96V0(1+βalkΔT)V_{\text{alk}} = 0{,}96 V_0 (1 + \beta_{\text{alk}}\Delta T), Vzb=V0(1+3αsΔT)V_{\text{zb}} = V_0 (1 + 3\alpha_s \Delta T) **b)** ΔTmax=1−kkβalk−3αs\Delta T_{\text{max}} = \frac{1 - k}{k \beta_{\text{alk}} - 3\alpha_s} **c)** ΔTmax≈41,2∘C\Delta T_{\text{max}} \approx 41{,}2^\circ\text{C}, tmax≈51,2∘Ct_{\text{max}} \approx 51{,}2^\circ\text{C}