Zadanie Zadanie 7.8.8: Wpływ temperatury na chód zegara wahadłowego

Punkty
3 pkt
Dział
Zjawiska cieplne · Rozszerzalność cieplna
Trudność
Poziom trudności: łatwe
Wpływ rozszerzalności stalowego pręta wahadła na zmianę okresu drgań i dobowe spóźnianie zegara.

Treść zadania

Zegar wahadłowy ze stalowym prętem wahadła o długości nominalnej l0=1,000 ml_0 = 1{,}000\,\text{m} chodzi punktualnie w temperaturze wzorcowej t0=18∘Ct_0 = 18^\circ\text{C}. W upalnym okresie letnim temperatura w pokoju wzrasta do t1=28∘Ct_1 = 28^\circ\text{C} (Δt=10 K\Delta t = 10\,\text{K}). Współczynnik rozszerzalności liniowej stali wynosi α=1,2⋅10−5 1K\alpha = 1{,}2 \cdot 10^{-5}\,\frac{1}{\text{K}}, a okres drgań wahadła matematycznego dany jest wzorem T=2πlgT = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}. **a)** Wykorzystując przybliżenie dla małych przyrostów 1+x≈1+12x\sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{1}{2}x, wyprowadź wzór na względną zmianę okresu drgań ΔTT0\frac{\Delta T}{T_0} w zależności od α\alpha i Δt\Delta t. **b)** Oblicz procentową zmianę okresu drgań wahadła. **c)** Rozstrzygnij, czy w wyższej temperaturze zegar spieszy się, czy spóźnia, oraz oblicz jego dobowe odchylenie chodu Δtdoba\Delta t_{\text{doba}} w sekundach na dobę (24 h=86 400 s24\,\text{h} = 86\,400\,\text{s}).

Odpowiedź i wynik końcowy

**a)** ΔTT0≈12αΔt\frac{\Delta T}{T_0} \approx \frac{1}{2}\alpha \Delta t **b)** Okres drgań wzrósł o 0,0060%0{,}0060\% **c)** Zegar się spóźnia o ok. 5,2 s5{,}2\,\text{s} na dobę